Che storia hanno i Problemi del millennio da un milione di dollari

E come sono riusciti a rendere la matematica interessante, tanto che ora OpenAI li usa per farsi pubblicità

Nel maggio del 2000 il Clay Mathematics Institute (CMI), una fondazione privata statunitense, stanziò 7 milioni di dollari per premiare chiunque avesse risolto una delle sette questioni irrisolte considerate tra le più difficili della matematica: i cosiddetti Problemi del millennio. In 26 anni, di quei 7 milioni ne è stato vinto solo uno, nel 2010, per la risoluzione della congettura di Poincaré.

Nelle ultime settimane però si è cominciato a parlarne improvvisamente molto perché sembra che i più aggiornati sistemi di intelligenza artificiale siano riusciti a fare in poco tempo enormi progressi nella loro risoluzione. A settembre OpenAI, l’azienda che sviluppa ChatGPT, ha annunciato che uno dei suoi modelli non ancora rilasciati al pubblico aveva risolto il problema di Navier-Stokes , e la scorsa settimana ha pubblicato alcuni progressi significativi nella risoluzione di altri due Problemi del millennio.

La comunità matematica internazionale sta accogliendo queste pubblicazioni in parte con scetticismo, in parte con prudenza, e non senza ragione. La dimostrazione di settembre, per esempio, riguarda solo una parte del quesito originale (che sarebbe comunque sufficiente per vincere il premio) e contiene possibili errori . Per verificare questo genere di risultati, comunque, possono essere necessari anni.

Ce ne vollero, per esempio, più di sette per assegnare il premio per la soluzione della congettura di Poincaré.

Era stata formulata nel 1904 dal matematico francese Henri Poincaré e riguardava la topologia , la branca della matematica che studia le proprietà degli spazi e delle figure geometriche. Due oggetti topologicamente uguali sono due oggetti che possono essere trasformati l’uno nell’altro, senza strappi o incollature: per esempio una ciambella non può essere trasformata in una sfera perché ha un “buco”, mentre può essere trasformata in una tazza col manico, che un buco ce l’ha. Poincaré si chiese se fosse possibile fare queste considerazioni con una dimensione in più e nel corso del Novecento furono parecchi i matematici autorevoli che annunciarono di aver trovato una risposta, ma nei loro lavori vennero trovati sempre degli errori.

Tra il 2002 e il 2003 un matematico russo di nome Grigori Perelman pubblicò su arXiv , un archivio online dove i ricercatori diffondono i propri lavori senza passare dalla revisione di una rivista, tre articoli che proponevano una soluzione della congettura di Poincaré. Per verificarne i passaggi, alcuni matematici misero da parte le proprie ricerche per anni. Nel 2010 il premio per la congettura di Poincaré venne assegnato ufficialmente a Perelman, che però lo rifiutò. «La ragione principale è il mio disaccordo con la comunità matematica organizzata», spiegò lui stesso .

Non tutti i matematici, in effetti, condividono l’idea che questo genere di premi renda davvero onore al lavoro della ricerca matematica. A settembre, per esempio, 25 vincitori della Medaglia Fields, il cosiddetto “Nobel della matematica”, hanno firmato una dichiarazione per ricordare che i grandi problemi irrisolti della matematica sono importanti non tanto per le risposte o per i premi assegnati, ma perché il tentativo di risolverli permette di sviluppare nuovi concetti, metodi, idee. Perelman stesso, risolvendo la congettura di Poincaré, costruì nuovi strumenti e arrivò a un risultato molto più generale, la congettura di geometrizzazione di Thurston.

Uno dei criteri di selezione dei Problemi del millennio era proprio l’aspettativa che i tentativi di risolverli potessero portare a nuove scoperte. A selezionare i problemi era stato un comitato composto da matematici e fisici molto importanti, come l’inglese Andrew Wiles e lo statunitense Edward Witten. Individuarono sette questioni che avevano resistito per decenni ai tentativi dei matematici: la congettura di Poincaré appunto, l’ipotesi di Riemann, P contro NP, il problema di Navier-Stokes (quello che OpenAI dice di aver risolto), la congettura di Hodge, quella di Birch e Swinnerton-Dyer e il problema di Yang-Mills.

La lista venne annunciata nel 2000 dal Collège de France di Parigi, lo stesso luogo in cui il matematico tedesco David Hilbert aveva presentato cento anni prima i 23 problemi che avrebbero orientato la ricerca matematica del Novecento (alcuni ancora irrisolti). Questo, insieme al milione di dollari in palio per ogni problema e all’autorevolezza del comitato, diede immediatamente prestigio all’iniziativa del Clay Mathematics Institute, che era stato fondato appena 20 mesi prima dall’imprenditore e filantropo Landon T. Clay.

Clay fondò il CMI perché era convinto che i progressi matematici fossero sottovalutati e poco raccontati. I premi prestigiosi c’erano, ma era difficile dare visibilità alla risoluzione di un problema di cui si ignorava l’esistenza o l’importanza. Istituendo i Problemi del millennio, il CMI voleva portare più persone a interessarsi a questi problemi e, un giorno, al loro eventuale solutore.

«La sottigliezza dell’idea alla base dei premi del millennio è che spostano l’attenzione dai premi ai problemi», ha scritto Nicholas Woodhouse, professore di Matematica di Oxford. E in effetti i Problemi del millennio attirarono molta attenzione. Nel primo anno il CMI ricevette più di seicento lettere e manoscritti di persone convinte di aver risolto uno dei problemi, a volte tutti e sette.

Non era una novità. Sfide e concorsi avevano spinto la matematica ad avanzare per secoli, ma poi nell’Ottocento si erano diffusi soprattutto i premi che venivano dai in seguito a una scoperta, anziché per la soluzione di un problema dato: un modello seguito successivamente da riconoscimenti come il premio Nobel e la medaglia Fields.

E infatti, spiega Roberto Natalini, matematico dell’Istituto per le Applicazioni del Calcolo del CNR, «la maggior parte dei matematici non lavora sui Problemi del millennio. Ogni anno escono centomila articoli di matematica, e quasi nessuno parla di questi problemi». La lista, secondo lui, ha finito per creare qualche problema. «Accendere i riflettori su alcuni settori crea una gerarchia che non è detto sia giusta. Capisco che piaccia molto, c’è un milione di dollari in palio, ma forse c’erano altri modi di raccontare la matematica».

E la corsa delle aziende che sviluppano modelli di intelligenza artificiale per risolverli rischia di renderli semplicemente dei benchmark , dei test di prestazione. Anche perché negli ultimi anni le soluzioni, anche quelle proposte dai matematici, vengono spesso formalizzate in Lean, un linguaggio di programmazione in cui le dimostrazioni possono essere controllate automaticamente da un computer, passaggio per passaggio. Se una dimostrazione è formalizzata in Lean, come quelle prodotte da OpenAI, è molto probabile che sia corretta.

Natalini osserva come il prestigio dei Problemi del millennio, e il fatto che una dimostrazione si possa verificare velocemente con Lean, li hanno resi un obiettivo ideale per le aziende di AI. «In medicina dovrebbero aspettare anni di sperimentazioni. Accreditarsi con la matematica è molto facile, e per loro è una vetrina».

Il 6 ottobre, però, tre ricercatori hanno pubblicato un preprint , e cioè un articolo che non è ancora stato sottoposto alla revisione di altri scienziati, in cui mostrano che in alcuni passaggi la versione testuale e quella in Lean della dimostrazione di Navier-Stokes pubblicata da OpenAI non combaciano e il codice Lean ha quindi eseguito un controllo su enunciati diversi dal testo. La dimostrazione, quindi, potrebbe avere dei problemi.